পাঠ ৩: ত্বরণ, মন্দন ও গতির সমীকরণসমূহ

১. ত্বরণ ও মন্দন (Acceleration & Deceleration)

সময়ের সাথে সাথে কোনো বস্তুর অসম বেগের বৃদ্ধির হারকে ত্বরণ (Acceleration) বলে। আর যদি সময়ের সাথে বেগ হ্রাস পায়, তবে সেই ঋণাত্মক ত্বরণকে বলা হয় মন্দন (Deceleration / Retardation)।

যদি আদিবেগ $u$, $t$ সময় পর শেষবেগ $v$ হয়, তবে ত্বরণ:

• একক: $\text{ms}^{-2}$ (মিটার পার সেকেন্ড স্কয়ার)
• মাত্রা সমীকরণ: $[a] = [LT^{-2}]$
• যখন $v > u$, তখন $a$ ধনাত্মক (ত্বরণ)।
• যখন $v < u$, তখন $a$ ঋণাত্মক (মন্দন)। মন্দন বললে ঋণাত্মক চিহ্নটি আর লেখার প্রয়োজন হয় না।

২. গতির ৪টি মূল সমীকরণ প্রতিপাদন ও ব্যাখ্যা

ধরি কোনো বস্তু $u$ আদিবেগ নিয়ে $a$ সুষম ত্বরণে $t$ সময় ধরে চলে $v$ শেষবেগ অর্জন করে এবং এই সময়ে মোট $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

১ম সমীকরণ: $v = u + at$

ত্বরণের সংজ্ঞানুযায়ী, $a = \frac{v - u}{t} \implies at = v - u \implies \mathbf{v = u + at}$। বস্তু স্থির অবস্থা থেকে শুরু করলে ($u = 0$), $v \propto t$ (সময় বাড়লে বেগ সমহারে বাড়ে)।

২য় সমীকরণ: $s = \left(\frac{u + v}{2}\right)t$

সুষম ত্বরণে গড় বেগ $\bar{v} = \frac{u + v}{2}$। আবার সরণ $s = \bar{v} \times t$। সুতরাং $\mathbf{s = \left(\frac{u + v}{2}\right)t}$।

৩য় সমীকরণ: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$

$s = \left(\frac{u + v}{2}\right)t$ সমীকরণে $v = u + at$ বসিয়ে পাই:
$s = \left(\frac{u + u + at}{2}\right)t = \left(\frac{2u + at}{2}\right)t = \mathbf{ut + \frac{1}{2}at^2}$। স্থির অবস্থা ($u = 0$) থেকে চললে $\mathbf{s \propto t^2}$।

৪র্থ সমীকরণ: $v^2 = u^2 + 2as$

$v = u + at \implies t = \frac{v - u}{a}$। এই মানটি $s = \left(\frac{u + v}{2}\right)t$ সমীকরণে বসালে পাই:
$s = \left(\frac{u + v}{2}\right)\left(\frac{v - u}{a}\right) = \frac{v^2 - u^2}{2a} \implies \mathbf{v^2 = u^2 + 2as}$। স্থির অবস্থা থেকে চললে $\mathbf{v \propto \sqrt{s}}$।